Escudero, nacido en Madrid el 24 de noviembre de 1927, fue fichado por el Atlético en 1945, cuando tan sólo contaba con diecisiete años y el club se llamaba aún Atlético Aviación.
Debutó en la Primera División en el Barcelona-Atlético de Madrid (2-1), disputado el 27 de enero de 1946. Su retirada se produciría al término de la temporada 1957-58, dejando atrás una brillante trayectoria deportiva en la que logró dos ligas.
Uno de ellos, representó el número 1.000 liguero del Atlético de Madrid, en encuentro jugado en Vigo contra el Celta (08-03-1953), donde marcó de penalti el segundo tanto de su equipo, que cayó por 3-2.
Adrián Escudero lució en tres ocasiones los colores de la selección española absoluta, anotando un gol. Su debut como internacional fue contra Argentina, el 7 de diciembre de 1952.
Al finalizar su etapa como futbolista el Club Atlético de Madrid le ofreció entrenar a las categorías inferiores y llegó a ser segundo entrenador del primer equipo, e, incluso, primero durante algunas jornadas.
Tras no renovarle contrato el Atlético de Madrid dejó la actividad como jugador y pasó a entrenar en las categorías inferiores del club, llegando incluso a dirigir a la primera plantilla en una jornada de la temporada 1963-64.